Tugas Statistik 4

1.     KUARTIL

Kuartil adalah penentuan letak nilai suatu data dengan membagi distribusi data menjadi empat bagian yang sama besar. Persayaratan utama pada kuartil adalah minimal data berjumlah 4 atau lebih.

Pembagian distribusi data menjadi empat bagian yang sama besar dapat dilakukan pemotongan secara 3 kali yaitu nilai kuartil satu (K1), kuartil dua (K2) dan kuartil tiga (K3.

a.     Data tidak berkelompok

Penetuan letak nilai data tidak dikelompokkan dapat dilakukan melalui deret data seperti diuraikan sebelumnya. Dengan asumsi bahwa datanya tidak relative banyak, jika datanya relative banyak akan dikelompokkan ke table distribusi frekuensi. Langkah-langkah penetuan dan perhitungan kuatril sebagai berikut.

·         Mengurutkan data, dari data yang terkecil ke data yang terbesar.

·         Menetukan letak kuartil dengan rumus :

   n+1

Ø Letak kuartil bersatu (LK1) = ───

     4

2(n+1)

Ø Letak kuartil kedua (LK2) = ────

     4

3(n+1)

Ø Letak kuartil ketiga (LK3) = ────

     4

Keterangan : n = banyak sampel data

·         Menentukan nilai kuartil : K1,K2,K3

Contoh : jumlah produksi perbulan selama enam bulan terakhir yaitu : 500,557,472,525,575. Tentukan nilai K1,K2,K3

Jawab :

Ø Mengurutkan data

Data ke	1	2	3	4	5	6
Jumlah produksi	472	495	500	525	557	575

Ø Menentukan letak kuartil

 (n+1)   (6+1)

LK1 = ─── = ─── = 1,75; terletak antara data kesatu dengan kedua

                           4            4

                         2(n+1)     2(6+1)

LK2 = ──── = ──── = 3,50; terletak antara data ketiga dan keempat

                4              4

            3(n+1)     3(6+1)

LK3 = ──── = ──── = 5,25; terletak antara data kelima dan keenam

                 4              4

Ø Menentukan nilai kuartil

K1 = data kesatu + ¾ (data kedua – data kesatu)

K1 = 472 + ¾ (495 – 472) = 489,25

K2 = data ketiga + ½ (data keempat – data ketiga)

K2 = 500 ½ (525 – 500) = 512,5

K3 = data kelima + ¾ (data keenam – data kelima)

K3 = 557 + ¾ (575 – 557) = 561,5

b.    Data dikelompokkan

Jika datanya relative banyak sebaiknya dikelompokkan agar lebih mudah membaca, memahami dan menginterpretasikan. Langkah-langkah penentuan letak dan nilai kuartil data dikelompokkan :

§  Membuat tabel distribusi frekuensi

§  Menentukan letak kuartil

LK1 = N/4         LK2 = 2N/4                LK3 = 3N/4

Keterangan : N = banyak data yang dikelompokkan

§  Menetukan nilai kuartil

        (LK1 – FKKDB)

K1 = TKB + ─────────── (Ci)

                    FKKDA – FKKDB

                       (LK2 – FKKDB)

K2 = TKB + ──────────── (Ci)

                     FKKDA – FKKDB

                      (LK3 – FKKDB)

K3 = TKB + ──────────── (Ci)

                     FKKDA – FKKDB

                                                             LKi – FKKDB

Atau disederhanakan : Ki = TKB + ──────────── (Ci)

                                                          FKKDA – FKKDB

Keterangan : i = 1,2,3

Contoh : ada 100 pedagang pecel lele dijalan kaliurang, Yogyakarta. Pada suatu hari setelah selesai berjualan dihitung jumlah keuntungannya. Hasil sebagai berikut :

Jumlah keuntungan perhari (x Rp.1000)	Banyak pedangan
25 – 34	10
35 – 44	12
45 – 54	20
55 – 64	27
65 – 74	18
75 – 84	13

Hitunglah :

a)      Keuntungan tertinggi dari 25% pedagang pecel lele di jalan kaliurang yang mendapat keuntungan terendah!

b)      Keuntungan tertinggi dari 50% pedagang pecel lele di jalan kaliurang yang mendapat keuntungan terendah!

c)      Keuntungan terendah dari 25% pedagang pecel lele di jalan kaliurang yang mendapat keuntungan tertinggi!

Jawab :

a)      Keuntungan tertinggi dari 25% pedagang pecel lele di jalan kaliurang yang mendapat keuntungan terendah adalah sama dengan nilai kuartil kesatu (K1)

             N       100

LK1 = ── = ─── = 25 atau LK1 = 25% x 100 = 25

              4          4

Maka letak kuartil kesatu, terletak di kelas interval ketiga hingga besar nilai kuartil kesatu dapat dicari:

                        (LK1 – FKKDB)

K1 = TKB + ──────────── (Ci)

                      FKKDA – FKKDB

                      (25 – 22)

K1 = 44,5 + ────── (10)

                       42 – 22

                     (3)

K1 = 44,5 + ── (10) = 44,5 + 1,5

                     20

K1 = 46 x Rp. 1.000 = Rp. 46.000,-

Berarti bahwa keuntungan tertinggi dari 25% perdagangan pecel lele di jalan kaliurang yang mendapat keuntungan terendah adalah Rp. 46.000,-

b)      Keuntungan tertinggi dari 50% pedagang pecel lele di jalan kaliurang yang mendapat keuntungan terendah sama dengan nilai kuartil kedua adalah :

            2N      2(100)

LK2 = ── = ──── = 50 atau LK2 = 50% x 100 = 500

             4           4

Maka letak kuartil kedua, terletak di kelas interval keempat sehingga besar nilai kuarti kedua adalah:

                        (LK2 – FKKDB)

K2 = TKB + ──────────── (Ci)

                      FKKDA – FKKDB

                    (50 – 42)

K2 =54,5 + ────── (10)

                      69 – 42

                     8

K2 =54,5 + ── (10) = 54,5 + 2,96

                    27

K2 = 57,46 x Rp.1000 = Rp. 57.460,-

Berti bahwa keuntungan dari 50% pedangan pecel lele di jalan kaliurang yang mendapat keuntungan terendah adalah Rp. 57. 460,-

c)      Keuntungan terendah dari 25% pedagang pecel lele di jalan kaliurang yang mendapat keuntungan tertinggi adalah sama dengan nilai kuartil ketiga

      3N      3(100)

LK3 = ── = ───── = 75 atau LK3 = 75% x 100 = 75

  4            4

Maka letak kuartil ketiga, terletak di kelas interval kelima. Maka besar nilai kuartil ketiga dapat ditentukan sebagai berikut:

                        (LK3 – FKKDB)

K3 = TKB + ──────────── (Ci)

                     FKKDA – FKKDB

                   
                      (75 – 69)

K3 = 64,5 + ────── (10)

                       87 – 69

                   
                       (6)

K3 = 64,5 + ─── (10) = 64,5 + 3,33

                       18

K3 = 67,83 x Rp.1000 = Rp. 67.830,-

Jika dihitung juga nilai median data diatas, maka letak median = n + ½ = 100 + ½ = 50,5 berarti diukur mediannya kelas interval keempat. Dengna demikian nilai mediannya yaitu;

Me = . Berarti sama dengan nilai kuartil kedua

2.     Desil

Pengukuran desil adalah penentuan letak nilai pada suata data dengan membagi distribusi data menjadi sepuluh bagian yang sama besar. Persyaratannya minimal ada 10 data atau lebih. Jadi setiap bagian mempunyai 1/10 bagian dari sepuluh bagian yang ada atau jika dinyatakan dalam bentuk presentase sebesar 10% dari 1/10 x 100%

Adapun yang dimaksud dari nilai-nilai desil anatar lain sebagai berikut.

·   Desil kesatu (D1) adalah nilai dari distribusi yang membagi 10% frekuensi di bagian atas distribusi dari 90% frekuensi di bagian bawah distribusi.

·   Desil kelima (D5) adalah suatu nilai dari distribusi yang membagi 50% frekuensi di bagian atas distribusi dari 50% frekuensi dibagian bawah distribusi. Untuk desil kelima ini nilainya sama dengan nilai median sehingga dapat dilakukan D5 = median

·   Desil kesembilan (D9) adalah suatu nilai dari distribusi yang membagi 90% frekuensi dibagian atas distribusi dari 10% frekuensi bagian bawah distribusi.

a.      Data yang tidak dikelompokkan

Penentuan letak dan perhitungan  nilai desil sama dengan prosedur kuartil. Berikut ini langkah-langkahnya :

§  Mengurutkan data dari data terkecil ke data terbesar

§  Menentukan letak desil (DL)

          n+1                                2(n+1)                        3(n+1)

LD1 = ───                   LD2 = ────             LD3 = ────

              10                                    10                               10

§  Menentukan nilai desil

Contoh : data sampel diketahui:

49,30,40,35,67,50,60,50,45,70,39,58,63. Tentukqn nilai desilnya!

Jawab :

-    Mengurutkan data dari data yang terkecil ke data terbesar

Data ke	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
Nilai	30	35	39	40	45	49	50	50	58	60	63	67	70

-    Menentukan letak desil

                  13 + 1                                                        6(13 + 1)

LD1 = ──── = 1,4                                  LD6 = ────── = 8,4

               10                                                                10

                   2(13 + 1)                                                    7(13 + 1)

LD2 = ────── = 2,8                             LD7 = ────── = 9,8

                  10                                                              10

              3(13 + 1)                                                  8(13 + 1)

LD3 = ────── = 4,2                             LD8 = ────── = 11,2

                  10                                                              10

             4(13 + 1)                                                   9( 13 + 1 )

LD4 = ────── = 5,6                             LD9 = ────── = 12,6

                  10                                                              10

-    Menentukan nilai desil, antara lain:

Letak D1         = 1,4 berarti nilai desil satu berada diantara data kesatuan dan data ketiga

D1                   = data kesatu + (0,4(data kedua – data kesatuan)

            = 30 +  (0,4(35 – 20)

            = 30 + 2

            = 32

Letak D5         = 7 berarti nilai D5 berada tepat di data ketujuh yaitu 50. Nilai D5 besarnya sama dengan nilai median data ini jika dihitung sebagai berikut:

 Letak median = (13+1)/2 = 7

Maka nilai median tepat juga pada data ketujuh, yaitu 50 (terbukti)

Letak D9         = 12,6 berarti nilai D9 berada di antara data kedua belas dan data ketiga belas.

D9                   = 67 +(0,6(70 – 67)

                        = 67 + 1,8

                        = 68,8

[1]

b.      Data dikelompokkan

Prosedur penentuan dan perhitungan nilai data dikelompokkan juga sama denga perhitungan terdahulu. Langkah-langkah sebagai berikut:

·         Menyusun tabel distribusi frekuensi

·         Menentukan letak desil (LD)

·         Menentukan niai desil

Di = TKB +

Contoh dengan menggunakan data pedangan pecel lele di Jalan Kaliurang Yogyakarta:

Keuntungan per hari (xRp 1000)	25-34	35-44	45-54	55-64	65-74	75-84
Jumlah pedagang	10	12	20	27	18	13

Tentukan:

-          Keuntungan tertinggi dari 10% pedagang pecel lele di Jalan Kaliurang yang mendapat keuntungan terendah!

-          Keuntungan yang tertinggi dari 50% pedagan pecel lele di Jalan Kaliurang yang mendapat keuntungan terendah!

-          Keuntungan terendah dari 10% pedagang pecel lele di Jalan Kaliurang yang mendapat keuntungan tertinggi!

Jawab:

a.       Keuntungan tertinggi dari 10 % pedagang pecel lele di Jalan Kaliurang yang mendapat keuntungan terendah sama dengan nilai desil kesatu (D1), sedangkan letak desil kesatu (LD1) sebagai berikut:

Berarti nilai desil kesatu berada pada kelas interval kesatu yaitu:

(10)=24,5+8,33

Berarti tingkat keuntungan tertinggi per hari yang dicapai dari 10% pedagang pecel lele di Jalan Kaliurang yang mendapat keuntungan terendah adalah Rp 32.830,- (32 x Rp 1.000,-).

b.      Keuntungan tertinggi dari 50% pedagang pecel lele di Jalan Kaliurang yang mendapat keuntungan terdendah sama dengan nilai desil kelima (D5 = Me) letaknya berada pada:

Berarti nilai desil kelima terletak di kelas interval keempat yaitu

Dapat disimpulkan bahwa tingkat keuntungan tertinggi perhari dari 50% padagang pecel lele di Jalan Kaliurang yang mendapat keuntungan terendah adalah Rp 57.460 (57,46 X Rp 1.000,-).

c.      

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

10%

Keuntungan terendah dari 10% pedagang pecel lele di Jalan Kaliurang yang mendapat keuntungan tertinggi sama dengan niali desil kesembilan. Jika digambar sebagai berikut:

 

                                                                                                                  

D1     D2      D3         D4     D5        D6      D7       D8       D9  

Data tertinggi                                                                   

                                                                                                        10%

 dan terletak di kelas interval keenam.

[2]

A.    [3] Persentil

Persentil adalah penentuan letak dan nilai suatu data dengan membagi distribusi data menjadi seratus bagian yang sama besar. Persyaratannya, minimal ada 100 data atau lebih. Karena persyaratan data yang relatif besar inilah maka untuk data yang tidak dikelompokkan tidak dicari nilai persentlnya. Jadi persentil hanya untuk data yang dikelompokkan pada tabel distribusi frekuensi. Di samping itu guna membagi 100 bagian yang sama diperlukan pemotongan sebanyak 99 kali, yaitu: P1, P2, P3, ..............., P99 sehingga setiap bagian besarnya hanya 1%. Langkah-langkah menghitung nilai persentil:

·         Menyusun tabel distribusi frekuensi

·         Menentukan letak persentil

·         Menentukan letak persentil

Rumusnya:

Pi =

Atau;

Pi = TKB +

3.     Median

      Median adalah nilai suatu data yang tepat berada ditengah-tengah data yang lain. Berarti 50% nilai data lebih besar dari median (50%>Me) dan 50% nilai data lebih kecil dari median (50%<Me).

a.      Data yang tidak dikelompokan

      Pengukuran nilai median bagi data yang tidak dikelompokan seperti halnya modus untuk data yang tidak data tidak dikelompokan, tidak memerlukan rumus khusu akan tetapi langsung dicari dengan langkah-langkah berikut ini :

·         Menyusun data secara urut, yaitu data diurutkan dari data terkecil ampai dengan data yang terbesar.

·         Menentukan letak median dengan rumus (n+1)/2

·         Menentukan niali median secara langsung data yang paling tengah.

Contoh :

Tahun	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2011	2012
Bi.Promosi	10	17	18	22	19	25	26	24	20

            Jawab :

·         Mengurutkan data terkecil kebesar : 17,18,19,20,22,24,25,26

·         Menentukan letak median, dimana banyak data atau n=9, yaitu : LM == 5

·         Menentukan median terletak atau tepat di data kelima, yaitu 20

Jika banyak data genap,missal tahun 2013 biaya promosi sebesar Rp. 29.000.000, maka dapat disusun sebagai berikut

Data ke:  1     2     3    4     5    6     7    8     9   10

Data        17  18   19  20  20   22  24  25  26  29

Letak median atau LM =  Berarti nilai median antara data ke-5 dn ke-6 yaitu 20 dan 22 yaitu =

b.      Data yang dikelompokan

Nilai median untuk data yang dikelompokan juga perlu tabel distribusi frekuensi karenadata relative cukup banyak. Rumusnya sebagai berikut :

Md = b + p

Keterangan :

            Md      = Median

            b          = Batas bawah, dimana median akan terletak

            p          = Panjang kels interval

            n          = Banyak data/jumlah sampel

            F          = Jumlah semua frekensi sebelum kelas median

            f           = Frekuensi kelas median

Contoh:

Distribusi Nilai kemampuan Manajerial 100 Pegawai PT. Tanjung Sari

Interval Nilai Kemampuan	Frekuensi/jumlah
21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 90-100	2 6 18 30 20 10 8 6
Jumlah	100

Setengah dari eluruh data (½n) = ½ x 100 = 50. Jadi median akan terletak pada interval keempat, karena sampai pada interval ini jumlah frekuensi sudah lebih dari 50, tepatnya 56.

[4]

Dengan demikian pada interval keempat ini, merupakan kels median batas bawahnya adalah 51 – 0,5 = 50,5. Panjang kelas mediannya adalah 10, dan frekuensi = 30. Adapun F nya = 2 + 6 + 18 = 26

Jadi mediannya = 50,5 +10 =58,5

---

[1] Dasar – dasar statistika ekonomi, Drs. Danang Sunyoto, SH., SE., MM.   CAPS 2012 YOGYAKARTA hal.81

[2] Drs. Danang Sunyoto, SH., SE., MM, Dasar-dasar Statistika Ekonomi, Caps, Yogyakarta, 2012, hlm 93

[3] Drs. Danang Sunyoto, SH., SE., MM, Dasar-dasar Statistika Ekonomi, Caps, Yogyakarta, 2012, hlm 94

[4] Drs.Danang Suryono, Dasar-dasar statistika untuk ekonomi (Yogyakarta: CAPS, 2012), hal